Описание метода Стокса.

Введем обозначения˸

На движущийся в жидкости шарик действует сила внутреннего трения, тормозящая ᴇᴦο движение. При условии, что стенки сосуда находятся далеко от шарика, эта сила по закону Стокса определяется формулой (3). Если шарик свободно падает в вязкой жидкости, то на него будут действовать также сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда .

На основании 2-го закона динамики Ньютона имеем˸

Решением полученного уравнения является закон изменения скорости шарика с течением времени при ᴇᴦο падении в жидкости˸

Поскольку с течением времени величина очень быстро убывает, то скорость шарика изначально возрастает (рис.2). Но через малый промежуток времени становится величинои̌ постоянной, равной˸ (6), где .

Скорость шарика можно определить, зная расстояние между метками на сосуде и время t , за которое шарик проходит это расстояние˸ .

Подставив эти равенства в (6), выразим из него коэффициент вязкости˸

(7) - эта формула справедлива для шарика, падающего в безгранично простирающейся жидкости. В данном случае необходимо ввести поправочный множитель , учитывающий влияние стенок и дна цилиндра на падение шарика.

Получаем окончательно рабочую расчетную формулу для экспериментального определения коэффициента вязкости жидкости методом Стокса˸

Вопросы к допуску.

1. Какие силы действуют на падающий в жидкости шарик? Каковы характер и динамика ᴇᴦο движения?

2. Записать формулу закона Стокса и пояснить входящие в нее обозначения?

3. Каковы условия применимости закона Стокса? Как они учтены в работе?

4. Записать расчетную формулу для вязкости жидкости? Пояснить каким образом находятся значения входящих в нее величин в данной работе.

5. Чем обусловлено положение верхней метки на цилиндрическом сосуде по отношению к краю жидкости в нем?

6. Пояснить характер зависимости скорости шарика [формула (5)] по рис.2.

7. От чего зависит получаемое значение вязкости? Каковы источники возможных погрешностей результата?

Задание 1. Вычисление расстояния релаксации.

1) Выбрать шарик наибольшего радиуса и измерить ᴇᴦο диаметр, массу, вычислить объём и среднюю плотность.

2) Измерить линейкой расстояние d от поверхности масла в цилиндрическом сосуде до верхней отметки.

3) По справочной таблице найти значение плотности и коэффициента вязкости касторового масла, записать в тетрадь.

5) На базе формулы (5) найти минимальное время , соответствующее значению скорости, найденному в предыдущем пункте.

6) Интегрированием формулы (5) в пределах от t=0 до t=t р вычислить путь S , проходимый шариком при ᴇᴦο неравномерном движении в жидкости.

Описание метода Стокса. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Описание метода Стокса." 2015, 2017-2018.

При наличии больших количеств жидкости коэффициент вязкости может быть определен методом Стокса.

Преимущество этого метода по сравнению с капиллярным заключается в том, что измерения могут быть выполнены в закрытом сосуде – обстоятельство, важное для физиологов и медиков. По данному методу в исследуемую жидкость опускают шарик небольших размеров. При движении шарика слой жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и движется со скоростью шарика. Ближайшие смежные слои жидкости также приводятся в движение, но получаемая ими скорость тем меньше, чем дальше они находятся от шарика.

Стокс установил, что при не слишком быстром движении тела сферической формы в вязкой жидкости сила сопротивления движению прямо пропорциональна скорости , радиусу тела r и коэффициенту вязкости жидкости . На шарик в вязкой жидкости действуют три силы (рис.4):

1) Сила Стокса

. (8)

2) Сила тяжести

(ρ – плотность шарика). (9)

3) Выталкивающая сила (сила Архимеда)

(ρ 1 – плотность жидкости). (10)

По второму закону Ньютона

. (11)

Рис. 4.

Установка для определения коэффициента вязкости жидкости

Методом Стокса

Переходя от векторной записи к алгебраической (проектируя уравнение (11) на ось ох ) и учитывая направление действия сил, получим:

F c +F A - Р= - ma . (11a)

Так как сила трения зависит от скорости (8), то устанавливается равномерное движение шарика (a=0 ) и уравнение (11а) принимает следующий вид:

F c +F A - Р=0 или Р = F c +F A . (11б)

Подставляя значения этих сил из формул (8-10) в уравнение (11б), получим:

.

Из последнего уравнения получим:

(12)

Эта формула справедлива для шариков небольшого размера, т.к. в противном случае, при движении шарика в жидкости возникают завихрения, и течение жидкости становится турбулентным.

Таким образом, зная скорость установившегося движения , плотности шарика и жидкости и , а также радиус шарика r , можно по формуле (12) вычислить значение коэффициента вязкости исследуемой жидкости. Прибор для измерения состоит, например, из стеклянного цилиндрического сосуда (рис.4), наполненного исследуемой жидкостью, плотность которой известна. На стенке сосуда имеются две горизонтальные метки 1 и 2 , расположенные друг от друга на расстоянии l . Диаметр 2r шарика измеряют обычно с помощью микрометра или штангенциркуля. Шарик опускают в жидкость по оси цилиндра, причем глаз наблюдателя должен быть при этом установлен против метки так, чтобы вся она сливалась в одну прямую. При прохождении шариком первой метки включают секундомер, при прохождении второй - останавливают. Считая, что к моменту прохождения верхней метки скорость установилась постоянной, получим , где t - время прохождения шарика расстояния l между метками 1 и 2 . По формуле (12) вычисляется коэффициент вязкости η исследуемой жидкости.

По вышеописанному методу можно также определить размеры (радиус r ) коллоидной частицы по скорости ее оседания в монодисперсной системе.

Из формулы (12) следует, что

. (13)

Этот метод играет важную роль в медицине, он дает возможность определить размеры кровяных шариков и других малых частиц по скорости их оседания. А определение скорости оседания эритроцитов (СОЭ) (иногда ее называют реакцией оседания эритроцитов – РОЭ), изменяющейся при воспалительных процессах, является одним из методов диагностики.

Порядок выполнения работы

Упражнение 1 . Определение коэффициента вязкости жидкости капиллярным вискозиметром

1. Опустите на 5-7 мм нижний конец капилляра вискозиметра в сосуд с дистиллированной водой (для исключения влияния сил поверхностного натяжения).

2. Резиновой грушей через соединительный шланг, расположенный сверху капиллярного вискозиметра, засасывая из капилляра воздух, заполните резервуар вискозиметра дистиллированной водой выше верхней метки В (рис.2).

3. Измерьте время истечения t 1 воды из резервуара между метками А и В . Повторите аналогично измерения 5 раз. Результаты измерения занесите в таблицу 1.

Таблица 1

4. Аналогично 5 раз измерьте время истечения исследуемой жидкости t 2 .

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ПРОЗРАЧНОЙ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА

Цель работы: ознакомиться с методом определения коэффициента вязкости прозрачной жидкости методом движущегося в жидкости шарика.

Оборудование: стеклянный цилиндр, с прозрачной жидкостью; секундомер; микрометр; масштабная линейка; шарики из свинца.

Теория вопроса и метод выполнения работы

Явления переноса объединяют группу процессов, связанных с неоднородностями плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества. К явлениям переноса относятся диффузия, внутреннее трение и теплопроводность.

Явлением внутреннего трения (вязкости) называется появление сил трения между слоями газа или жидкости, движущимся, друг относительно друга, параллельно и с разными по величине скоростями. Слой, движущийся быстрее, действует с ускоряющей силой на более медленно движущийся соседний слой. Силы внутреннего трения, которые возникают при этом, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев (рис. 1, 2).

Величина силы внутреннего трения между соседними слоями пропорциональна их площади и градиенту скорости , то есть справедливо соотношение, полученное экспериментально Ньютоном

Величина называется коэффициентом внутреннего трения или динамическим коэффициентом вязкости. В СИ измеряется в .

Входящая в (1) величина показывает, как меняется скорость жидкости в пространстве при перемещении точки наблюдения в направлении, перпендикулярном слоям. Понятие градиента скорости иллюстрируется рис. 1, 2.

Рис. 1. Постоянный градиент скорости

На рисунке 1 показано распределение скоростей слоев жидкости между двумя параллельными пластинами, одна из которых неподвижна, а другая имеет скорость . Подобная ситуация возникает в прослойке смазки между движущимися деталями. В этом случае слои жидкости, непосредственно прилегающие к каждой из пластин, имеют одинаковую с ней скорость. Движущиеся слои частично увлекают за собой соседние. В результате в пространстве между пластинами скорость жидкости меняется по направлению равномерно. Таким образом, здесь

.

Рис. 2. Переменный градиент скорости

На рисунке 2 показано распределение скоростей жидкости около движущегося в ней вертикально вниз со скоростью шарика.

Предполагается, что скорость мала, так что завихрения в жидкости не образуются. В этом случае жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности шарика, имеет скорость . В это движение частично вовлекаются удаленные от шарика слои жидкости. При этом скорость наиболее быстро меняется по направлению вблизи шарика.

Наличие градиента скорости у поверхности тела указывает, что на него действует сила внутреннего трения, зависящая от коэффициента вязкости . Сама величина определяется природой жидкости и обычно существенно зависит от ее температуры.

Сила внутреннего трения и коэффициент вязкости жидкости может быть определен различными методами – по скорости истечения жидкости через калиброванное отверстие, по скорости движения тела в жидкости и т.д. В данной работе для определения используется метод, предложенный Стоксом.

Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиуса в жидкости. Обозначим скорость шарика относительно жидкости через . Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рис. 2. В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии от поверхности шара.

Очевидно, чем больше радиус шара, тем большая масса жидкости вовлекается им в движение, и должно быть пропорционально радиусу шарика : . Тогда среднее значение градиента скорости на поверхности шара равно

.

Поверхность шара , и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

.

Более подробные расчеты показывают, что для шара , окончательно – формула Стокса.

По формуле Стокса можно, например, определить скорости оседания частиц тумана и дыма. Ею можно пользоваться и для решения обратной задачи – измеряя скорость падения шарика в жидкости, можно определить ее вязкость.

Упавший в жидкость шарик движется равноускоренно, но, по мере того, как растет его скорость, будет возрастать и сила сопротивления жидкости до тех пор, пока сила тяжести шарика в жидкости не сравняется с суммой силы сопротивления и силы трения жидкости движению шарика. После этого движение будет происходить с постоянной скоростью .

При движении шарика слой жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и движется со скоростью шарика. Ближайшие смежные слои жидкости также приводятся в движение, но получаемая ими скорость тем меньше, чем дальше они находятся от шарика. Таким образом, при вычислении сопротивления среды следует учитывать трение отдельных слоев жидкости друг о друга, а не трение шарика о жидкость.

Если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям , не оставляя за собой никаких завихрений (малая скорость падения, маленький шарик), то, как показал Стокс, сила сопротивления равна

где – коэффициент внутреннего трения жидкости; – скорость шарика; – его радиус.

Кроме силы на шарик действует сила тяжести и архимедова сила , равная весу вытесненной шариком жидкости. Для шара

; ,(3)

где , – плотность материала шарика и исследуемой жидкости.

Все три силы будут направлены по вертикали: сила тяжести – вниз, подъемная сила и сила сопротивления – вверх. Первое время, после вхождения в жидкость, шарик движется ускоренно. Считая, что к моменту прохождения шариком верхней метки скорость его уже установилась, получим

где – время прохождения шариком расстояния между метками, – расстояние между метками.

Движения шарика возрастает, ускорение уменьшается и, наконец, шарик достигнет такой скорости, при которой ускорение становится равным нулю, тогда

Подставляя в равенство (4) значение величин, получим:

.(5)

Решая уравнение (5) относительно коэффициента внутреннего трения, получаем расчетную формулу:

.(6)

Рис. 3. Прибор Стокса

На рисунке 3 представлен прибор, состоящий из широкого стеклянного цилиндра с нанесенными на него двумя кольцевыми горизонтальными метками и ( – расстояние между метками), который наполняется исследуемой жидкостью (касторовое масло, трансформаторное масло, глицерин) так, чтобы уровень жидкости был на 5¸8 см выше верхней метки.

Порядок выполнения работы

Для измерения коэффициента внутреннего трения жидкости, например, масла, берутся очень маленькие шарики. Диаметр этих шариков измеряют микрометром. Время падения шарика – секундомером.

1. С помощью микрометра измерьте диаметр шарика.

2. Измерьте время опускания каждого шарика между двумя метками и . Шарик опустите в отверстие воронки и в момент прохождения через верхнюю метку включите секундомер, а в момент прохождения через нижнюю метку его выключите.

3. Проведите опыт не менее пяти раз.

4. Измерьте расстояние между метками. Вычислите скорость движения шарика и по формуле (5) найдите значение коэффициента вязкости.

5. Плотность жидкости и шариков возьмите из таблицы физических величин.

6. Найдите среднее значение коэффициента вязкости, оценить абсолютную и относительную погрешности измерений.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается метод определения коэффициента вязкости жидкости по Стоксу?

2. Какие силы действуют на шарик при его движении в жидкости?

3. Как зависит коэффициент внутреннего трения жидкостей от температуры?

4. Какие течения жидкости называют ламинарными и турбулентными? Как определяются числом Рейнольдса эти течения?

5. Каков физический смысл коэффициента вязкости жидкости?

6. Почему измерения верны только при малых скоростях?

7. Для какой жидкости глицерина или воды коэффициент вязкости можно определить точнее рассматриваемым методом?

8. Имеется два свинцовых шарика разного диаметра. У какого из них скорость падения в жидкости будет больше?

9. Охарактеризуйте другие явления переноса (диффузию и теплопроводность). Каким законам они подчиняются?

Цель работы

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ

Наблюдается два вида течение жидкости (газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называется л а м и н а р н ы м (слоистым). Частицы жидкости в ламинарном потоке не переходят из одного слоя в другой. Ламинарное течение стационарно. При чем для него характерно то, что каждый слой движется с какой-то определенной скоростью υ. При небольших скоростях течения жидкости по трубе наблюдается ламинарное течение. Характер изменения скорости течения с расстоянием от оси трубы изображен на рис.1

Рис.1 Рис.2

Ламинарное течение Турбулентное течение

При увеличении скорости потока характер течения существенно изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости, в результате чего внутри жидкости появляются вихри - турбулентности. Такое течение называется т у р б у л е н т н ы м . «Профиль» скоростей внутри турбулентного потока изображен на рис.2. При турбулентном течении скорость в каждой точке сечения трубы приобретает некое значение. И только вблизи стенок скорость несколько изменяется.

ДИНАМИЧЕСКАЯ ВЯЗКОСТЬ

Вследствие того, что ламинарный поток как бы расслаивается, и каждый слой движется с определенной скоростью, то в процессе движения между слоями возникает трение, которое применительно к жидкостям и газам называется внутренним трением.

Внутренне трение характеризуется коэффициентом, который называется динамической вязкостью.

Динамическая вязкость обозначается греческой буквой η («эта») и измеряется в системе СИ в Паскалях-секунда: [η]=Па·с.

Свойства динамической вязкости:

· вязкость жидкостей резко уменьшается с повышением температуры жидкости;

· вязкость газов наоборот резко увеличивается с повышением температуры газа.

Кроме динамической вязкости, применяется еще понятие кинематической вязкости −

это отношение динамической вязкости к плотности среды (жидкости или газа):

Единица измерения кинематической вязкости: [ν]= м 2 /с (иногда эту единицу измерения называют «Стоксом»: 1 Ст= 1 м 2 /с).

ЗАКОН СТОКСА

Стокс установил следующую закономерность: для тела, находящегося в ламинарном потоке, сила сопротивления среды пропорциональна коэффициенту динамической вязкости η, скорости υ движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела l.

Если тело имеет сферическую форму, то сила сопротивления потока будет равна:

F c =6πηrυ.

где r – радиус тела,

υ – относительная скорость тела (потока).

Как и любая другая сила трения, F c всегда направлена в сторону противоположную движению тела.

МЕТОД СТОКСА

На законе Стокса основано определение вязкости жидкости вискозиметром Гёпплера: в трубку определенногодиаметра, заполненную жидкостью, вязкость которой надо определить, опускают шарик и измеряют скорость его падения, которая и является мерой вязкости жидкости. Этот метод измерения вязкости называется методом Стокса и именно его мы будем применять в данной лабораторной работе.

На металлический шарик массой m падающий в вязкой жидкости, действуют следующие силы (рис.3):

F с =6πrηv,

Рис.3 где v – скорость движения шарика, g = 9,8 м/с 2 – ускорение свободного падения,

V = - объем шарика с радиусом r ,

ρ т – плотность материала шара,

1 ρ ж – плотность жидкости.

Уравнение движения тела: F = F А + F с.

Тогда: ,

Откуда: . Поскольку , то .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.

Цель работы : экспериментальное определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.

Приборы, принадлежности и материалы : сосуд с исследуемой жидкостью, стальной

шарик, секундомер, микрометр, денсиметр,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерить диаметр шарика и определить его радиус r .

2. Измерить денсиметром плотность жидкости ρ ж .

3. Измерить температуру жидкости tºC .

4. Опустить шарик в жидкость и одновременно измерить секундомером время t прохождения шариком двух меток.

5. Измерить расстояние 1 между метками.

6. Опыт повторить 3 раза.

7. По формуле вычислить три значения коэффициента вязкости: η 1 , η 2 , η 3 .

8. Определить среднее значение коэффициента вязкости: η ср = .

9. Определить абсолютную погрешность опыта: ; ;

10. Определить среднее значение абсолютной погрешности:

11. Определить относительную погрешность опыта:

12. Определить кинематическую вязкость жидкости: .

13. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что такое вязкость? Какова причина вязкости?

2. От чего зависит вязкость? В чем отличие вязкости жидкости от вязкости газов?

3. Закон Стокса (формулировка и формула)

4. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости, и как они направлены?

1. Какую максимальную скорость будет кметь дождевая капля диаметром d= 0,5 см, если динамическая вязкость воздуха η=1,2·10 -5 Па·с? (Плотность воды считать равной ρ=10 3 кг /м 3).

2. Пробковый щарик всплывает в сосуде с глицерином. Чему рамен діаметр шарика, если известно, что шарик всплывает с постоянной скоростью υ=2 см/с, а динамическая вязкость глицерина в условиях опыта равна η = 1,48 Па·с? плотность пробки ρ 1 =200 кг/м 3 , а плотность глицерина ρ 2 =1200 кг/м 3 .

3. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жид кости, плотность которой в 4 раза більше плотности шарика. Во сколько раз сила внутреннего трения жид кости F с, которая действует на шарик, більше силы тяж ести?

РАБОЧИЙ ЛИСТ

Ф.И.О:____________________________ группа__________ дата ___________

Вариант № ____

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

В ЖИДКОСТЯХ

Методические указания к лабораторной работе № 9

по дисциплине «Общая физика»

раздел «Механика. Молекулярная физика»

Минск 2011 г.

Указание по мерам безопасности

При выполнении лабораторной работы

Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.

Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.

К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.

Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:

Усвоить методику выполнения лабораторной работы, правила ее безопасного выполнения;

Ознакомиться с экспериментальной установкой; знать безопасные методы и приемы обращения с приборами и оборудованием при выполнении данной лабораторной работы;

Проверить качество сетевых шнуров; убедиться, что все токоведущие части приборов закрыты и недоступны для прикосновения;

Проверить надежность соединения клемм на корпусе прибора с шиной заземления;

В случае обнаружения неисправности немедленно доложить преподавателю или инженеру;

Получить у преподавателя допуск к ее выполнению, подтверждая этим усвоение теоретического материала. Обучающийся не получивший допуск к выполнению лабораторной работы не допускается.

Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.

При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:

Не оставлять без присмотра включенные приборы;

Не наклоняться к ним близко, не передавать через них какие-либо предметы и не опираться на них;

При работе с грузиками надежно закреплять их крепежными винтами на осях.

замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.

Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру

По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.

ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ

В ЖИДКОСТЯХ

Цель и задачи работы

1. Изучить явление внутреннего трения в жидкостях.

2. Изучить закономерности течения реальной жидкости в цилиндрической трубе и движения тел в жидкости.

3. Определить коэффициент вязкости жидкости методом Стокса.

4. Измерить объемы жидкости, вытекающие из цилиндрической трубы за единицу времени при различных разностях давлений на концах трубы, определить момент перехода от ламинарного течения жидкости к турбулентному и рассчитать соответствующее переходу число Рейнольдса.

Основные положения теории внутреннего трения в жидкостях

Основные определения

Жидкостями называются вещества, имеющие определённый объем, но не обладающие упругостью формы (то есть, не обладающие модулем сдвига). В отличие от твердых тел в жидкостях наблюдается ближний порядок (упорядоченное расположение соседних атомов или молекул на расстояниях порядка их нескольких межмолекулярных расстояний); дальний же порядок, присущий твердым телам (кристаллическая решетка) и вовсе отсутствует.

Временем “оседлой жизни” называется время, в течение которого молекулы жидкости сохраняют свое местоположение. По истечении данного времени, молекулы жидкости перемещаются на расстояния порядка 10 -8 см. Молекулы жидкости, подобно молекулам твердых тел, совершают тепловые колебания около положений равновесия.

Текучесть – это способность молекул жидкости менять свое положение относительно других молекул. Вместе с тем, силы межмолекулярного взаимодействия достаточно велики и средние расстояния между молекулами остаются неизменными. По этой причине жидкости сохраняют свой объем.

Явление внутреннего трения (вязкости) состоит во взаимодействии соседних слоев реальной жидкости, движущихся с разными скоростями, которое приводит к появлению сил вязкости (внутреннего трения), касательных поверхности слоев. При этом, молекулы более быстрого слоя стремятся увлечь за собой молекулы более медленного, и наоборот, молекулы более медленного слоя тормозят движение более быстрого. Следовательно, силы вязкости направлены вдоль поверхности соприкасающихся слоев в сторону, противоположную их относительной скорости подобно силам трения скольжения (внешнего трения) при движении одного тела по поверхности другого. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия, то есть, электромагнитными силами, как и силы трения между твердыми телами. Явление вязкости, таким образом, связано с передачей импульса из слоя в слой, т.е. относится к явлениям переноса. Так как молекулы жидкости основную часть времени находятся около положения равновесия, то движущаяся масса жидкости увлекает соседние слои в основном за счет сцепления (межмолекулярного взаимодействия). С ростом температуры текучесть жидкости возрастает, а вязкость падает. Это связано с тем, что при нагревании жидкость “разрыхляется” (т.е. незначительно увеличивается ее объем) и силы межмолекулярного взаимодействия ослабевают. Механизм вязкости в газе является иным, так как осуществляется из-за перехода молекул из слоя в слой. Поэтому с возрастанием температуры вязкость газов, возрастает, в отличие от жидкостей.

Ламинарным называется такое течение, когда жидкие частицы движутся вдоль устойчивых траекторий. Жидкость движется параллельными слоями. Скорости всех частиц жидкости параллельны течению. Если в ламинарный поток ввести подкрашенную струйку, то она сохраняется, не размываясь по всему потоку.

Турбулентным течение становится при больших скоростях – это неустойчивое, хаотичное (вихреобразное) движение частиц жидкости.

Установившимся или стационарным называется течение, если величины и направления скоростей частиц в каждой точке движущейся жидкости не изменяются со временем.

2.2. Закономерности движения реальной жидкости в цилиндрической трубе

Пусть имеется жидкость, различные слои которой движутся с различными скоростями (рисунок 1), причем скорости слоев, отстоящих на расстоянии Δy , отличаются на величину Δv . Тогда отношение Δv/ Δy показывает, насколько быстро меняется скорость жидкости от одного слоя к другому. Для двух бесконечно близких слоев (Δy ®0) эта величина записывается в виде dv/dy и представляет собой градиент скорости grad (v ) в направлении перпендикулярном скорости движения слоев.

Рис.1. Схематическое изображение слоев.

Ньютон впервые предположил, что сила вязкости или сила внутреннего трения dF в между двумя слоями жидкости прямо пропорциональна площади их соприкосновения dS τ , а также градиенту скорости:

. (1)

Коэффициент пропорциональности зависящий от природы жидкости и ее температуры, называется коэффициентом вязкости или просто вязкостью . Коэффициент вязкости h измеряется в Па·с (кг /(м с)).

Рассмотрим более подробно ламинарное течение жидкости по трубе круглого сечения радиуса R длиной l . Если разность давлений ΔP = P 1 – P 2 (P 1 > P 2) на концах трубы поддерживается постоянной, то установится стационарный режим течения, при котором за равные промежутки времени t через любое поперечное сечение трубы S будут протекать равные объемы жидкости V . Особенность течения вязкой жидкости по цилиндрической трубе состоит в том, что внешний слой жидкости, примыкающий к внутренней поверхности трубы, прилипает к ней и остается неподвижным, а скорость каждого из последующих слоев увеличивается по мере приближения к центру трубы. Течение жидкости можно представить в виде движения цилиндрических слоев, параллельных оси трубы. Мысленно выделим произвольную цилиндрическую область жидкости радиуса r и длины l (рисунок 2).

Рис.2. Схематическое изображение цилиндрической области жидкости.

На ее боковую поверхность S t =2prl со стороны внешнего слоя, текущего с другой скоростью, действует, согласно (1), сила вязкости:

Кроме того, на основания цилиндра действует сила, связанная с разностью давлений:

. (3)

При стационарном течении жидкости скорость движения жидкости постоянна, поэтому силы, действующие на цилиндрический слой, должны быть равны и противоположны по направлению F B =F P , следовательно

Выразим из этого уравнения dv и проинтегрируем получившееся выражение для того, чтобы найти скорость:

Пределы определенного интеграла выбраны из условия, что на стенке трубы (т.е. при r = R ), скорость v должна обращаться в нуль. В результате получим

. (5)

Таким образом, скорость частиц движущейся жидкости изменяется от максимального значения (на оси трубы) до нуля (на стенках трубы) по параболическому закону (рисунок 3).

Рис.3. Распределение скоростей слоев жидкости в трубе.

Подсчитаем объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за время t . Для этого рассмотрим тонкий цилиндрический слой радиуса r , толщиной dr , текущий с постоянной скоростью v . За время t через кольцевую площадку площадью dS = 2πrdr , которая представляет собой поперечное сечение этого тонкого слоя, протечет объем жидкости: dV =dS vt = 2πrdr vt или, используя формулу (5),

(6)

Объем жидкости V , протекающей за время t через все поперечное сечение трубы S , находится путем интегрирования выражения (6) по r от 0 до R .

Разделив данное выражение на время t , получим объем жидкости, вытекающий из трубы за единицу времени или расход жидкости Q=V/t , а формула (7) будет иметь вид:

(8)

Формула (8) является количественным выражением закона Пуазейля . Из нее, в частности, следует, что расход жидкости обратно пропорционален длине трубы l , и прямо пропорционален разности давлений ∆P на концах трубы и четвертой степени ее радиуса, то есть, чрезвычайно сильно возрастает с увеличением радиуса трубы.

Если предположить, что все частицы жидкости движутся не с различными скоростями, а с некоторой средней скоростью v ср, то расход жидкости Q , то

Эксперименты показали, что закон Пуазейля оказывается справедливым лишь при относительно небольших скоростях движения жидкости. Осборн Ре΄йнольдс впервые заметил, что при достижении некоторой критической скорости движение жидкости теряет ламинарной характер и становится турбулентным (вихревым), то есть, струйка подкрашенной жидкости быстро расходится по всему сечению трубы в виде вихревых образований. Кроме того, было замечено, что значение критической скорости зависит также от размеров трубки и свойств самой жидкости. Так, например, если одна и та же жидкость течет по трубам различного диаметра, то в более широкой трубе переход от ламинарного течения к турбулентному будет происходить при меньших скоростях движения, чем в узкой. Таким образом, узкая труба оказывает более сильное, упорядочивающее влияние на характер движения жидкости. С другой стороны оказалось, что более вязкая жидкость сохраняет ламинарность течения при относительно более высоких скоростях движения.

Рейнольдс предложил характеризовать течение жидкости безразмерной величиной, названной числом Рейнольдса :

Здесь - плотность и вязкость жидкости, v ср - средняя скорость ее течения, R – радиус трубы.

Экспериментальные исследования показали, что ламинарный режим наблюдается при течениях, которым соответствуют значения чисел Рейнольдса не более ~1000. Переход от ламинарного к турбулентному течению происходит в области значений от 1000 до 2000, а при значениях Re > 2000 течение становится турбулентным.

Движение тел в жидкостях

Силы вязкости проявляются и при движении различных тел в жидкости, которые действуют на боковую поверхность тела в направлении, противоположном скорости тела относительно жидкости. Силы вязкости пропорциональны первой степени скорости, коэффициенту вязкости h и линейным размерам тела l :

, (11)

где k 1 – коэффициент пропорциональности.

Если в жидкости движется шарик небольшого радиуса r с малой скоростью v , то сила сопротивления равна:

Эта формула впервые была получена Стоксом и носит его имя.

Кроме того на тело, движущееся в жидкости, действуют силы лобового сопротивления. Действительно, тела, находящиеся в жидкости, действуют на частицы жидкости, изменяют характер потока, перераспределяют в нем скорости и давления до и после движущихся тел. Однако, эти же тела, согласно третьему закону Ньютона, испытывают такие же по величине, но противоположно направленные силы. Результирующая этих сил отлична от нуля и направлена в сторону, противоположную скорости тела относительно жидкости. Расчет показывает, что силы лобового сопротивления пропорциональны плотности жидкости ρ , площади поперечного сечения тела S и квадрату скорости v :

где k 2 – коэффициент, зависящий от формы тела, состояния его поверхности и от вязкости жидкости.

Таким образом, и силы лобового сопротивления, и силы вязкости препятствуют движению тела в жидкости. При малых скоростях преобладают силы вязкости, пропорциональные первой степени скорости; при больших скоростях – силы лобового сопротивления, изменяющиеся по параболическому закону (рисунок 4).

Рис.4. Зависимость сил лобового сопротивления и вязкости от скорости движения тела в жидкости.

Число Рейнольдса Re при движении тел в жидкости, как видно из формул (11) и (13), прямо пропорционально отношению F Л /F B и показывает, какой вид сопротивления преобладает. При Re≤1 преобладают силы вязкости, при Re>1 – силы лобового сопротивления. При создании моделей тел, движущихся в жидкости, число Рейнольдса является критерием подобия. Характер движения модели будет такой же, как и моделируемого тела при условии совпадения их чисел Рейнольдса.

Методика выполнения работы

3.1. Определение вязкости жидкости методом Стокса

Этот метод основан на исследовании условий движения шарика в вязкой жидкости. Размеры и плотность шарика выбираются такими, чтобы скорость его движения была невелика. В этом случае сила сопротивления определяется практически только вязкостью. Кроме силы вязкости f , на шарик, падающий в жидкости, действуют сила тяжести F T и сила Архимеда или выталкивающая сила F A (рисунок 5).

Рис.5. Схематическое изображение шарика в жидкости

В начале движения F T > F A +f и шарик движется ускоренно. При этом сила f , пропорциональная скорости шарика, увеличивается, пока равнодействующая всех этих сил не становится равной нулю и, далее, шарик движется в жидкости с постоянной скоростью v . Для этого случая запишем равенство F T = F A +f . Перепишем его, используя формулу Стокса

где m ш – масса шарика; m ж – масса жидкости, вытесненной шариком; r – радиус шарика. Записав массу шарика и массу вытесненной им жидкости через плотности и объем, получим:

3.2. Определение числа Рейнольдса, соответствующего переходу от ламинарного течения жидкости к турбулентному

Зависимость расхода жидкости от разности давлений ΔP = P 1 – P 2 на концах трубы вначале выражается линейной функцией в соответствии с формулой Пуазейля (пунктирная прямая на рисунке 6). При значениях ΔP , соответствующих числу Рейнольдса Re ~ 1000, происходит переход от ламинарного течения к турбулентному и отклонение зависимости Q = f (ΔP ) от закона Пуазейля (точка “a” на кривой рисунка 6). При дальнейшем увеличении разности давлений наблюдается чисто турбулентный режим течения жидкости (отрезок “ab” на кривой рисунка 6).

Рис.6. Зависимость объема жидкости, вытекающей из трубы в единицу времени и числа Рейнольдса от разности давлений на концах трубы.

3.3. Описание лабораторной установки

Определение вязкости жидкости методом Стокса

Для определения вязкости жидкости используется цилиндрический сосуд C , наполненный исследуемой жидкостью (рисунок 7).

Рис.7. Лабораторная установка для определения вязкости жидкости методом Стокса.

Шарик бросают в отверстие крышки сосуда. Первоначально шарик падает в жидкости с некоторым ускорением, и когда сумма силы вязкости и выталкивающей силы становится равной по величине силе тяжести шарика, он начинает двигаться равномерно с постоянной скоростью v . Определяется время прохождения шарика между двумя метками и рассчитывается скорость движения шарика по формуле v=l/t , где l – расстояние между метками на сосуде C . Подставив значение скорости в формулу (16), получим:

Время t падения шарика между метками на сосуде определяется с помощью прибора для измерения времени Ч , диаметр шарика (и, соответственно, радиус r ) – с помощью микроскопа M с известной ценой деления шкалы окуляра.